Два касания

В оптимуме фирме неважно, производить 40 единиц продукции или уходить с рынка, значит,

\begin{gather}MR(40) = MC(40) \\ \pi (40) = \pi (0) = - FC\\ \Downarrow\\ P(40) = AVC(40)\end{gather}

Более того, раз фирма не может получить прибыль большую, чем $(-FC)$, то в других точках $Pкасаться графика спроса в точке, где $Q=40$.

Из условия следует, что существует лишь единственная цена (а значит, и единственный объем выпуска), при которых выручка равна постоянным издержкам. Как легко понять из графиков выручки и постояннных издержек, такая ситуация возможна, только если при этом объеме выпуска выручка максимальна. Значит, в остальных точках выручка меньше, чем постоянные издержки, а средняя выручка (цена) - меньше, чем средние постоянные издержки. Отсюда следует, что график спроса должен касаться графика $AFC$ в точке, где $P=20$ и $MR=0$.

Пусть обратная функция спроса задается уравнением $P=a-bQ$. Тогда

$$3 = \frac{{AVC(40)}}{{MC(40)}} = \frac{{P(40)}}{{MR(40)}} = \frac{{a - b \cdot 40}}{{a - 2b \cdot 40}} \Rightarrow a = 100b.$$

Как мы выяснили, максимальную выручку фирма может получить при $P=20$. Для нашей функции спроса цена, максимизирующая выручку, равна $a/2$, и значит, $a = 40$. Функция спроса, таким образом, имеет вид $P = 40 - 0{,}4Q$.

Понятно, что величина аккордной субсидии, выводящей фирму на уровень безубыточности, должна быть в точности равна текущим убыткам фирмы (ведь после получения аккордной субсидии фирма не изменит выпуск). Значит, $S = - \pi (40) = FC = TR_{\max} = 20 \cdot 100/2 = 1000.$

Графически ситуация сводится к следующему:

Вот такие "Два касания"!